線性回歸方程公式(線性回歸方程簡(jiǎn)單求法)

線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，是變量間的相關(guān)關(guān)系中最重要的一部分，主要考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，考察學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)算能力，題目難度中等，應(yīng)用廣泛.

一 線性回歸方程公式

二 規(guī)律總結(jié)

(3)回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要用來解決：

①確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式;

②根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì);

③求線性回歸方程.

三 線性回歸方程簡(jiǎn)單求法例題

例1

四 線性回歸方程的應(yīng)用

例2

例3

例4

例5

例6

推導(dǎo)2個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程

例7 設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，用最小二乘法推導(dǎo)其線性回歸方程并進(jìn)行分析。

解：由最小二乘法，設(shè)

，則樣本點(diǎn)到該直線的“距離之和”為

從而可知：當(dāng)

時(shí)，b有最小值。將

代入“距離和”計(jì)算式中，視其為關(guān)于b的二次函數(shù)，再用配方法，可知：

此時(shí)直線方程為：

設(shè)AB中點(diǎn)為M

，則上述線性回歸方程為

可以看出，由兩個(gè)樣本點(diǎn)推導(dǎo)的線性回歸方程即為過這兩點(diǎn)的直線方程。這和我們的認(rèn)識(shí)是一致的：對(duì)兩個(gè)樣本點(diǎn)，最好的擬合直線就是過這兩點(diǎn)的直線。

上面我們是用最小二乘法對(duì)有兩個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸直線方程進(jìn)行了直接推導(dǎo)，主要是分別對(duì)關(guān)于a和b的二次函數(shù)進(jìn)行研究，由配方法求其最值及所需條件。實(shí)際上，由線性回歸系數(shù)計(jì)算公式：

可得到線性回歸方程為

設(shè)AB中點(diǎn)為M

，則上述線性回歸方程為

。

求回歸直線方程

例8 在硝酸鈉的溶解試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度

下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)

的數(shù)據(jù)如下

描出散點(diǎn)圖并求其回歸直線方程.

解：建立坐標(biāo)系，繪出散點(diǎn)圖如下：

由散點(diǎn)圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)性。設(shè)回歸直線方程為：

由回歸系數(shù)計(jì)算公式：

可求得：b=0.87，a=67.52，從而回歸直線方程為：y=0.87x+67.52。

三、綜合應(yīng)用

例3、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：

(1)求回歸直線方程;(2)估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少?

解：(1)設(shè)回歸直線方程為：

(2)將x = 10代入回歸直線方程可得y = 12.38，即使用10年時(shí)的維修費(fèi)用大約是12.38萬(wàn)元。

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