插值法的概念是什么(插值法計(jì)算公式)

插值法的概念是什么?

1、一維插值問(wèn)題：

問(wèn)題如下：已經(jīng)有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)

，其中

互不相同，不妨假設(shè)

，求任意插值點(diǎn)

處的插值

思路：構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)y=f(x)，使得f(x)結(jié)果所有的點(diǎn)，求

即可得到

2、插值法的概念：

設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知在點(diǎn)

上的值分別為

若存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)，使

則稱(chēng)P(x)為f(x)的插值函數(shù)，點(diǎn)

稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間[a,b]稱(chēng)為插值區(qū)間，求插值函數(shù)P(x)的方法稱(chēng)為插值法。 若P(x)是次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式，即

，就稱(chēng)為插值多項(xiàng)式 若P(x)為分段多項(xiàng)式，就稱(chēng)為分段插值 若P(x)為三角多項(xiàng)式，就稱(chēng)為三角插值。 3、一般插值多項(xiàng)式原理

定理：設(shè)有n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)

則存在唯一的多項(xiàng)式：

使得

證明：構(gòu)造方程組

令：

方程組的矩陣形式如下：AX=Y(4)

由于

所以方程組(4)存在唯一解

從而

唯一存在

注1：只要n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)互異，滿足上述插值條件的多項(xiàng)式是唯一的

注2：如果不限制多項(xiàng)式的次數(shù)，插值多項(xiàng)式并不唯一

4、拉格朗日插值法

在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。在若干個(gè)不容的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。

兩個(gè)點(diǎn)

我們可以構(gòu)造出在兩點(diǎn)之間的任意的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的插值

三個(gè)點(diǎn)

對(duì)于四個(gè)點(diǎn)甚至更多的點(diǎn)，我們可以依次寫(xiě)出

數(shù)學(xué)表達(dá)：

高次插值會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，即在兩端處的波動(dòng)極大，產(chǎn)生明顯的震蕩。在不清楚運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的前提下，不要輕易使用高次插值。

5、分段線性插值

由于插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高未必能提高精度，反而可能回增大誤差，所以引入分段插值。

最簡(jiǎn)單的就是分段線性插值，相鄰的兩點(diǎn)之間連成一條線段來(lái)擬合所有的點(diǎn)。

6、分段二次插值(分段拋物插值)

選取跟節(jié)點(diǎn)x最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)

進(jìn)行二次插值，即在每一個(gè)區(qū)間

上，取

這種分段的低次插值稱(chēng)為分段二次插值，在幾何上就是用分段拋物線代替y=f(x)，所以分段二次插值又稱(chēng)為分段拋物插值。

7、埃爾米特(Hermite)插值

不做過(guò)多敘述，就是它即滿足函數(shù)值相等，又滿足導(dǎo)數(shù)值相等，甚至是高階導(dǎo)數(shù)值還相等的不超過(guò)(2n+1)次的多項(xiàng)式。既然是多項(xiàng)式肯定存在龍格現(xiàn)象，因此我們使用分段的方法來(lái)降低誤差，減少龍格。

8、分段三次埃爾米特插值(常用)

直接使用Hermite插值得到的多項(xiàng)式次數(shù)較高，也存在龍格現(xiàn)象。因此在實(shí)際使用中，往往使用分段三次Hermite插值多項(xiàng)式(PCHIP)。

證明推導(dǎo)太過(guò)復(fù)雜，掌握怎么使用即可。

matlab有內(nèi)置函數(shù)pchip()

x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-') % 此處的'o'用來(lái)修飾plot(x,y) % plot函數(shù)用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 線方式： - 實(shí)線 :點(diǎn)線 -. 虛點(diǎn)線 -- 波折線 % 點(diǎn)方式： . 圓點(diǎn) +加號(hào) * 星號(hào) x x形 o 小圓 % 顏色： y黃; r紅; g綠; b藍(lán); w白; k黑; m紫; c青

9、三次樣條插值(常用)

三次樣條插值需要滿足更嚴(yán)苛的條件：

函數(shù)值相等S(x) =f(x) 在每個(gè)子區(qū)間上S(x)都是三次多項(xiàng)式 S(x)在[a,b]上二階可微

主要來(lái)說(shuō)應(yīng)用

matlab有內(nèi)置的函數(shù)spline(x,y,new_x)

% 三次樣條插值和分段三次埃爾米特插值的對(duì)比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('樣本點(diǎn)','三次埃爾米特插值','三次樣條插值','Location','SouthEast') % legend(String1, string2, String3,...)每個(gè)String與繪圖之間有順序?qū)?yīng)關(guān)系 % Location 表示legend的位置，上述語(yǔ)句表示在SouthEast東南方向

可以看出，三次樣條生成的曲線更加光滑。在實(shí)際過(guò)程中，由于我們不知道數(shù)據(jù)的生成過(guò)程，因此兩種插值都可以使用。

以上就是關(guān)于插值法的概念及計(jì)算公式的相關(guān)內(nèi)容，希望對(duì)您有所幫助。

推薦閱讀：